Mathematische Grundlagen (P0)
Walter Winter (Vorlesung)
Daniel Biehl, Jonas Heinze, Leonel Morejon, Annika Rudolph (Übungsbetrieb)
WS 2017/18

I) Wiederholung (?)

1) Vektoren

a) Komponentendarstellung

b) Rechenregeln

c) Skalarprodukt

d) Vektorprodukt

e) Parameterdarstellung Gerade und Ebene, Hessesche Normalform

2) Differenziation

a) Motivation/Tangentenproblem

b) Wichtige Ableitungen (elementare Funktionen)

c) Ableitungsregeln inkl. Umformungen Logarithmus, Ableitung Umkehrfunktion

d) Höhere Ableitungen, Krümmung, Extrema

e) Taylor-Entwicklung

3) Integration

a) Motivation/Interpretation als Flächeninhalt

b) Unbestimmtes Integral

c) Wichtige Grundintegrale

d) Rechnen mit Integralen (Regeln)

e) Integrationsmethoden (Substitution, partielle Integration, Partialbruchzerlegung)

f) Uneigentliche Integrale

4) Komplexe Zahlen

a) Motivation/Fundamentalsatz der Algebra

b) Nomenklatur

c) Rechenregeln (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division); Darstellung in Gausscher Zahlenebene

d) Trigonometrische Darstellung

e) Potenzen und Wurzeln

f) Physikalische Anwendungen (z. B. Schwingungen)

g) Ausblick: Komplexe Funktionen

II) Funktionen mehrerer reeller Veränderlicher

1) Darstellung

a) Beispiele

b) Darstellungsformen von Funktionen zweier Veränderlicher

c) Darstellung von Funktionen n Veränderlicher

2) Ableiten n-dimensionaler Funktionen

a) Partielle Ableitungen

b) Totales Differential, Gleichung der Tangentialebene

c) Taylorentwicklung in zwei Dimensionen und lokale Extrema (Min./Max., Sattelpunkt, parabolischer Punkt)

3) Integration n-dimensionaler Funktionen/Mehrfachintegrale

a) Doppelintegrale

b) Dreifachintegrale

III) Differentialgleichungen (DGL)

0) Motivation

1) Grundbegriffe

a) Definition

b) Lösungen einer DGL

c) Anfangs- und Randwertprobleme

d) Ausblick: Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung

2) DGL 1. Ordnung

a) Graphische Lösung

b) DGL mit trennbaren Variablen

c) Lineare DGL 1. Ordnung (allgemeine Eigenschaften)

d) Lineare DGL 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

3) Lineare DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

a) Allgemeine Eigenschaften

b) Integration der homogenen DGL

c) Integration der inhomogenen DGL

d) Beispiel: Schwingungsgleichung

4) Fortgeschrittenere DGL

a) Lineare DGL n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten

b) Systeme linearer DGL mit konstanten Koeffizienten (Einsetzungs- und Eliminationsverfahren, keine LinAlg!)

c) Separable partielle DGL

IV) Vektoranalysis

1) Bahnkurven

a) Zeit als Parameter

b) Bogenlänge als Parameter

c) Umparameterisierungen

d) Kurvenintegrale, Beispiel Arbeit

e) Konservative Kraftfelder

2) Flächen im Raum

a) Parameterisierung

b) Flächenkurve/Kurve in Fläche

c) Flächennormale, Tangentialebene

d) Flächenelement

3) Vektorwertige Funktionen und Felder

a) Feldbegriff, Vektorfeld, Skalarfeld

b) Graphische Darstellung

4) Gradient eines Skalarfelds

a) Definition, Eigenschaften

b) Rechenregeln

c) Richtungsableitungen

d) Darstellung der Tangentialebene (WH, mit Gradient)

5) Divergenz eines Vektorfelds

a) Anschauliche Bedeutung, Interpretation, Definition

b) Beispiel: Punktladung (Divergenz des elektrischen Feldes); Bezug zu Maxwellgleichung

c) Rechenregeln

6) Rotation eines Vektorfelds

a) Definition, Interpretation

b) Beispiele: Maxwellgleichungen, Geschwindigkeitsfeld rotierende Scheibe

c) Rechenregeln

7) Spezielle Vektorfelder

a) Quellenfreies Vektorfeld, Darstellung durch Vektorpotenzial, Magnetostatik

b) Wirbelfreies Vektorfeld, Bezug konservatives Kraftfeld

c) Laplace- und Poissongleichung

8) Krummlinige Koordinaten

a) Allgemeine Eigenschaften, metrische Koeffizienten

b) Differenzialoperatoren in krummlinig-orthogonalen Koordinaten (einfaches Beispiel, Rest zum Nachschlagen)

c) Beispiel: Zylindersymmetrische Vektorfelder

9) Oberflächenintegrale, Fluss

a) Flussbegriff

b) Auswertung von Oberflächenintegralen (v.a. in Zyklinder- und Kugelkoordinaten)

c) Berechnung von Oberflächenintegralen durch parameterisierte Flächen (-> Bezug zu IV-2)

d) Anwendung: Fluss kugelsymmetrisches Vektorfeld durch Overfläche einer Kugelkoordinaten

10) Integralsätze

a) Motivation/Definition: Gausscher Satz

b) Anwendungen (z. B. Maxwellgleichungen differenziell-integral, Fluss durch Oberfläche Zylinder oft einfacher als Volumenintegral)

c) Motivation/Definition: Stokes'scher Satz

d) Anwendungen (Maxwellgleichungen, Magnetfeld linearer Leiter)