\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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\newcommand{\s}{{\rm s}}
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\begin{document}
\begin{flushright}
  {\bf Ausgabe: 4.7.2000 \\                  %% Aendern!            
    Abgabe:   11.7.2000 \\}                  %% Aendern! 
\end{flushright}

\begin{center}
\begin{large}
{\bf \"Ubung zur Vorlesung ``Statistische Methoden der Datenanalyse''\\
     H. Kolanoski (kolanoski@ifh.de)  --    SS 2000 \\
 %      H. Kolanoski\\
\vspace{0.5cm}
Blatt 6  \\ }                          %% Aendern! 
\end{large}
\end{center}

\vspace{0.6cm}

%---------------------------------------------------------------------

\noindent
{\bf Aufgabe 15: ML-Sch\"atzung des Parameters $p$ einer Binomialverteilung              %% Aendern! 
  (5 Punkte)}\\[1mm]                                             %% Aendern! 
\noindent
Sie haben bei $n$ Versuchen $k$-mal Erfolg gehabt. Nehmen Sie an, dass die Erfolge binomial verteilt sind.

\begin{itemize}
\item[a)] Sch\"atzen Sie mit Hilfe der ML-Methode den Parameter $p$
  (Wahrscheinlichkeit f\"ur einen Erfolg) und dessen Varianz ab. Die
  Varianz kann durch die zweite Ableitung der Log-Likelihood-Funktion
  bestimmt werden.
\item[b)] Beurteilen Sie Erwartungstreue und Konsistenz der
  Sch\"atzung von $p$ und belegen Sie diese Beurteilung.
\end{itemize}

\vspace{0.6cm} 


%---------------------------------------------------------------------

\noindent
{\bf Aufgabe 16:   ML-Bestimmung einer Zerfallswinkelverteilung %% Aendern! 
 (8 Punkte)}\\[1mm]
\noindent
Bei dem Zerfall eines Teilchens trete ein Zerfallsprodukt unter dem
Polarwinkel $\theta$ relativ zu der Spin-Richtung des zerfallenden
Teilchens auf. Ein theoretisches Model sagt folgende Abh\"angigkeit
der Wahrscheinlichkeitsdichte von $z=\cos{\theta}$ voraus:
\begin{equation}
\label{eq_one}
f(z|a) = \frac{1}{2} ( 1+ a z)
\end{equation} 
Die Beobachtung von 20 Zerf\"allen ergab folgende Werte f\"ur $z$:
\begin{verbatim}

  z( 1) =  -0.387        z( 11)=   0.534
  z( 2) =   0.330        z( 12)=  -0.030
  z( 3) =   0.851        z( 13)=   0.111
  z( 4) =  -0.361        z( 14)=  -0.676
  z( 5) =   0.503        z( 15)=   0.531
  z( 6) =   0.697        z( 16)=  -0.767
  z( 7) =   0.565        z( 17)=   0.064
  z( 8) =   0.758        z( 18)=   0.065
  z( 9) =   0.207        z( 19)=   0.909
  z(10) =  -0.679        z( 20)=   0.246

 \end{verbatim}



\begin{itemize}
\item[a)] Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeitsdichte in
  (\ref{eq_one}) f\"ur alle $a$ im Definitionsbereich $-1 \leq a \leq
  +1$ richtig normiert ist.
\item[b)] Bestimmen Sie die Log-Likelihood-Funktion ${\mathcal{L}}$
  f\"ur die Messwerte und stellen Sie ${\mathcal{L}}(a)$ sowie die
  ersten und zweiten Ableitungen f\"ur den gesamten Definitionsbereich
  von $a$ graphisch dar.
\item[c)] Bestimmen Sie die ML-Sch\"atzung f\"ur den Parameter $a$
  numerisch oder graphisch.
\item[c)] Bestimmen Sie den Fehler $\sigma_a$ von $a$ aus der
  \"Anderung von ${\mathcal{L}}(a)$ um $\hat{a}$ und mit Hilfe der
  zweiten Ableitung. Vergleichen Sie beide Ergebnisse.
%\item[d)] Erzeugen Sie sich zu dem gefundenen Wert $\hat{a}$ viele
%  Messreihen mit jeweils 20 Zerf\"allen und bestimmen Sie den Fehler
%  von $a$ aus der Varianz dieser Messreihen.
\end{itemize}



\vspace{0.6cm} 

%---------------------------------------------------------------------

\noindent
{\bf Aufgabe 17: Erzeugung einer $\chi^2$-Verteilung     %% Aendern! 
 (7 Punkte)}\\[1mm]
\noindent
Erzeugen Sie sich Messreihen mit jeweils 10 Messwerten $x_i$, die
einer Gauss-Verteilung mit $\mu=0$ und $\sigma=1$ folgen.
\begin{itemize}
\item[a)] Berechnen Sie f\"ur jede Messreihe den $\chi^2$-Wert und
  tragen Sie die Werte in ein Histogramm ein. Zeichnen Sie in das
  Histogramm die erwartete Verteilung ein (mit der richtigen
  Normierung).
\item[b)] Bestimmen Sie f\"ur jede Messreihe das Vertrauensniveau
  $\alpha$ (wie in der Vorlesung definiert) entweder numerisch durch
  Aufintegration der $\chi^2$-Verteilung oder indem Sie das
  entspre\-chen\-de Programm in DATAN (oder sonstige Programme) benutzen.
  Stellen Sie die Verteilung der Messreihen als Funktion von $\alpha$
  als Histogramm dar.
  
  Programm in DATAN: Die $\chi^2$-Verteilunger erh\"alt man mit
  folgenden Funktionen (x=$\chi^2$, n=Freiheitsgrad, p= F($\chi^2$)): 

SDCHI2(x,n) = Wahrscheinlichkeitsdichte 

SCCHI2(x,n) = Verteilungsfunktion

SCCHI2(p,n) = Verteilungsfunktion F($\chi^2$)=p $\Longrightarrow$ $\chi^2$
  
\end{itemize}
\end{document}



