\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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%
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\begin{document}
\begin{flushright}
  {\bf Ausgabe: 20.6.2000 \\                  %% Aendern!            
    Abgabe:   27.6.2000 \\}                  %% Aendern! 
\end{flushright}

\begin{center}
\begin{large}
{\bf \"Ubung zur Vorlesung ``Statistische Methoden der Datenanalyse''\\
     H. Kolanoski (kolanoski@ifh.de)  --    SS 2000 \\
 %      H. Kolanoski\\
\vspace{0.5cm}
Blatt 5  \\ }                          %% Aendern! 
\end{large}
\end{center}

\vspace{0.6cm}

%---------------------------------------------------------------------

\noindent
{\bf Aufgabe 12: Geradengleichung               %% Aendern! 
  (10 Punkte)}\\[1mm]                                             %% Aendern! 
\noindent
Eine Teilchenspur geht durch 2 flache Detektoren, die jeweils eine
Projektion des Durchstosspunktes der Teilchenbahn in der $x-z$-Ebene
messen. Die Detektoren stehen bei $z_1$ und $z_2$ parallel zur
$x$-Achse. Es werden werden Durchstosspunkte $x_1,\ x_2$ mit den
Aufl\"osungen $\sigma_1=100\, \mu {\rm m},\ \sigma_2=150\, \mu {\rm
  m}$ gemessen, die $z$-Aufl\"osung sei vernachl\"assigbar.
\begin{itemize}
\item[a)] Bestimmen Sie die Teilchenbahn als eine Gerade, die durch
  die Messpunkte geht.
\item[b)] Bestimmen Sie die Kovarianzmatrix von Achsenabschnitt und Steigung.
\item[c)] Bestimmen Sie die Transformation, die diese Kovarianzmatrix
  diagonal macht.
\item[d)] Bestimmen Sie den Fehler bei der Bestimmung des
  Durchstosspunktes bei $z=z_0$, allgemein und f\"ur die Werte (in cm): 
$$
z_0=-5, \ z_1=5, \ z_2 = 8, \ x_1 =2.20,\ x_2=2.91
$$ 
\end{itemize}

\vspace{0.6cm} 


%---------------------------------------------------------------------

\noindent
{\bf Aufgabe 13:    Gewichtete Mittelwertbildung %% Aendern! 
 (5 Punkte)}\\[1mm]
\noindent
Wir haben in Abschnitt 4.2 f\"ur den Fall einer Stichprobe $x_i,\ 
i=1,\ldots,n$ mit gleichen Varianzen $\sigma_i=\sigma$  gezeigt,
dass die Mittelwertbildung f\"ur das arithmetische Mittel am
effektivsten ist.
\begin{itemize}
\item[a)] Leiten Sie eine Formel f\"ur den effektivsten Mittelwert
  her, wenn die $\sigma_i$ im allgemeinen unterschiedlich sind
  (`gewichtetes Mittel').
\item[b)] Gegeben ist eine Grundgesamtheit mit Mittelwert $\mu$ und
  Varianz $\sigma^2$. Bestimmen Sie die Mittelwerte und Varianzen von $m$
  Stichproben mit jeweils unterschiedlichem Umfang $n_j,\,
  j=1,\ldots,m$ und den Mittelwert der Mittelwerte und dessen Varianz
  und Standardabweichung.
\end{itemize}

\vspace{0.6cm} 

%---------------------------------------------------------------------

\noindent
{\bf Aufgabe 14: Signal und Untergrund           %% Aendern! 
 (5 Punkte)}\\[1mm]
\noindent
Bei einer Z\"ahlratenmessung hat man in der Regel Untergrund zu
ber\"ucksichtigen. Die gemessene Z\"ahlrate $N$ ergibt sich aus Signal
$N_S$ und Untergrund $N_U$:
$$
N=N_S + N_U
$$
Die Untergrundrate kann man h\"aufig durch eine getrennte Messung
(zum Beispiel leeres Target bei einem Streuexperiment) bestimmen.
Bestimmen Sie eine optimale Aufteilung der insgesamt zur Verf\"ugung
stehenden Zeit $T$ f\"ur die `Volltarget'- und `Leertarget'-Messung
(die optimale Aufteilung sollte den Fehler der interessierenden
Messung von $dN_S/dt$ minimieren).


\end{document}



