
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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%
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\begin{document}
\begin{flushright}
  {\bf Ausgabe: 14.5.2000 \\                  %% Aendern!            
    Abgabe:   21.5.2000 \\}                  %% Aendern! 
\end{flushright}

\begin{center}
\begin{large}
{\bf \"Ubung zur Vorlesung ``Statistische Methoden der Datenanalyse''\\
     H.~Kolanoski, M.~Kowalski  --    SS 2002 \\
\vspace{0.5cm}
Blatt 5  \\ }                          %% Aendern! 
\end{large}
\end{center}

\vspace{1cm}
\noindent
{\bf Aufgabe 9: Supernovae in der Milchstra\3e                 %% Aendern! 
  (12 Punkte)}\\[1mm]                                             %% Aendern! 
\noindent
Nehmen wir mal an, dass die Absch\"atzung, dass in unserer
Milchstra\3e etwa alle 50 Jahre eine Supernova auftritt, auf einer
einzigen beobachteten Supernova in einer Nachbargalaxis beruht
(SN87A). Um eine Absch\"atzung dar\"uber zu erhalten, wie abh\"angig
solch eine Messung vom statistischen Fehler ist, sollen jetzt untere und obere 
Grenzen f\"ur die  Supernova-H\"aufigkeit bei gegebenem Vertrauensniveau 
berechnet werden.
\begin{itemize}
\item[a)] Geben Sie die untere und obere Grenze f\"ur die
  Supernova-H\"aufigkeit in unserer Milchstra\3e mit einem
  Vertrauensniveau von 90\% an. Gehen Sie folgendermassen vor:
\begin{itemize}
  \item F\"ur die Bestimmung der oberen (unteren) Grenze,  ermitteln Sie als 
Funktion der tats\"achlichen (unbekannten)  H\"aufigkeit, $\mu_{SN}$,  die 
integrierte Poisson-Wahrscheinlichkeit f\"ur die Beobachtung eines Signal, das kleinergleich (gr\"ossergleich) der Messung ist.

\item   Stellen Sie die entsprechenden Verteilungen, aus
denen man die Grenzen entnehmen kann, graphisch dar. Die oberen und unteren 
Grenzen f\"ur ein 90\% Vertrauensniveau sind gerade dann gegeben, wenn die
Verteilung den  Wert 0.05 annimmt. Die Schnittpunkte k\"onnen aus den Graphen
 herausgelesen oder auch numerisch berechnet werden. 

% Die dabei auftretenden Gleichungen
%  kann man einfach durch Intervallschachtelung l\"osen (oder mit einem
%  entsprechenden Programm). 
\end{itemize}

\item[b)] Wie w\"urde sich das Ergebnis \"andern, wenn die
  Absch\"atzung auf 10 bzw. 100 beobachteten Ereignissen beruhen w\"urde?
  Stellen Sie den Verlauf der oberen und unteren Grenze als Funktion der 
  beobachteten Ereignisse (z.B. von 0 bis 40) graphisch dar.

\item[c)] 
F\"ur eine Normalverteilung mit Mittelwert $\mu$ sind die Grenzen eines 
90 \% Vertrauensniveau gegeben durch \
$\mu \pm 1.65\sigma = \mu \pm 1.65\sqrt\mu$.
Diskutieren Sie die G\"ultigkeit solch einer N\"aherung f\"ur die 
Poisson-Verteilung.  
\end{itemize}

\vspace{1cm} 


\end{document}



