\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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%
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\begin{document}
\begin{flushright}
  {\bf Ausgabe: 30.5.2000 \\                  %% Aendern!            
    Abgabe:   13.6.2000 \\}                  %% Aendern! 
\end{flushright}

\begin{center}
\begin{large}
{\bf \"Ubung zur Vorlesung ``Statistische Methoden der Datenanalyse''\\
     H. Kolanoski (kolanoski@ifh.de)  --    SS 2000 \\
 %      H. Kolanoski\\
\vspace{0.5cm}
Blatt 4  \\ }                          %% Aendern! 
\end{large}
\end{center}

\vspace{1cm}
\noindent
{\bf Aufgabe 10: Supernovae in der Milchstra\3e                 %% Aendern! 
  (10 Punkte)}\\[1mm]                                             %% Aendern! 
\noindent
Nehmen wir mal an, dass die Absch\"atzung, dass in unserer
Milchstra\3e etwa alle 50 Jahre eine Supernova auftritt, auf einer
einzigen beobachteten Supernova in einer Nachbargalaxis beruht
(SN87A).
\begin{itemize}
\item[a)] Geben Sie die untere und obere Grenze f\"ur die
  Supernova-H\"aufigkeit in unserer Milchstra\3e mit einem
  Vertrauensniveau von 90\% an. Die dabei auftretenden Gleichungen
  kann man einfach durch Intervallschachtelung l\"osen (oder mit einem
  entsprechenden Programm). 
\item[b)] Stellen Sie die entsprechenden Poisson-Verteilungen, aus
  denen man die Grenzen entnehmen kann, graphisch dar.
\item[c)] Wie w\"urde sich das Ergebnis \"andern, wenn die
  Absch\"atzung auf 10 beobachteten Ereignissen beruhen w\"urde?
\item[d)] Bestimmen Sie die Grenzen wie in a) mit der Annahme, dass
  die Poisson-Verteilung durch eine Gauss-Verteilung
  $N(\mu=\lambda=1,\ \sigma = \sqrt{\lambda} =1)$ gegeben ist.
  Beurteilen Sie das Ergebnis.
\end{itemize}

\vspace{1cm} 


%---------------------------------------------------------------------

\noindent
{\bf Aufgabe 11:  Binormal-Verteilung                        %% Aendern! 
 (10 Punkte)}\\[1mm]
\noindent
%
Erzeugen Sie eine zweidimensionale Normalverteilung mit 
$$ \sigma_1=5,\ \sigma_2=10 $$

\begin{itemize}
\item[a)] Erzeugen und plotten Sie eine Stichprobe von 1000
  Ereignissen in einem Bereich von jeweils etwa $\pm 3\,\sigma$.
\item[b)] Bestimmen Sie die Kovarianzmatrix der Stichprobe.
\item[c)] Transformieren Sie jedes Ereignis durch eine Drehung um
  $+30^{\circ}$, plotten Sie ebenfalls das Ergebnis und bestimmen Sie
  die Kovarianzmatrix.
\item[d)] Plotten Sie die Verteilung von $x'_1$ mit den
  Selektionsschnitten:
$$ \mu'_2+\sigma'_2\ <\ x'_2\ <\ \mu'_2 +2\,\sigma'_2 $$
$$ -(\mu'_2+\sigma'_2)\ >\ x'_2\ >\ -(\mu'_2 +2\,\sigma'_2) $$
\item[e)] Zeichnen Sie in den Plot von a) die Konturlinien zu gleicher
  Wahrscheinlichkeitsdichte, die die Hauptachsen bei $\pm \sigma_i,\ 
  i=1,2,$ schneiden.
\item[f)] Sch\"atzen Sie mit der Hit\&Miss-Methode ab, welcher
  Prozentsatz der Wahrscheinlichkeit innerhalb dieser Konturlinien
  liegt.

\end{itemize}





\end{document}



