\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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%
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\begin{document}
\begin{flushright}
  {\bf Ausgabe: 7.4.2002 \\                  %% Aendern!  
       Abgabe:   14.5.2002 \\}               %% Aendern! 
\end{flushright}

\begin{center}
\begin{large}
{\bf \"Ubung zur Vorlesung ``Statistische Methoden der Datenanalyse''\\
     H.~Kolanoski, M.~Kowalski  --    SS 2002 \\
     \vspace{0.5cm}    Blatt 4  \\ }        %% Aendern! 
\end{large}
\end{center}
\vspace{1cm} 
\noindent

{\bf Aufgabe 7: Eiersuche und kein Ende                           %% Aendern! 
(7 Punkte)}\\[1mm]                                                %% Aendern! 
\noindent
Mit den in Aufgabe 1 gemachten Annahmen sollte die Zahl der jeweils
gefundenen Eier $k_i$ binomial-verteilt sein. Die beiden Stichproben
ergaben $k_1=22$ und $k_2=20$.

\begin{itemize}
\item[a)] Bestimmen Sie aus den Daten einen Sch\"atzwert f\"ur die
  Parameter $n$, der Gesamtzahl der Eier und $p$, der
  Wahrscheinlichkeit, dass ein Ei gefunden wird. Was ist damit der
  Erwartungswert von $k$?

\item[b)] Bestimmen Sie Varianz und Standardabweichung 
\begin{itemize}
\item[i] aus der Binomial-Verteilung und 
\item[ii] aus der Varianz der Stichprobe.
\end{itemize}
Vergleichen Sie diese beiden Werte und machen Sie eine Aussage, ob die
beiden Messwerte statistisch miteinander vertr\"aglich sind.
\item[c)] Mit welcher Wahrscheinlichkeit ergeben sich Messwerte zwischen 19 und 23 (einschlie\3lich)?
\end{itemize}


 \vspace{1cm}

\noindent
{\bf Aufgabe 8:                                        %% Aendern! 
Statistik von Photoelektronen einer Photovervielfacherr\"ohre 
(10 Punkte)}\\[3mm]

\noindent
Wenn ein geladenes Teilchen in einem Medium eine Geschwindigkeit $c_t$
hat, die gr\"o\3er als die Geschwindigkeit des Lichts in diesem Medium
$c_m=c/n$ ist, dann strahlt es sogenanntes Cherenkov-Licht ab (zum
Beispiel in Wasser oder Eis, siehe Neutrino-Nachweis in Aufgabe 2).
Die Cherenkov-Photonen k\"onnen mit einer Photovervielfacherr\"ohre
(PMT) gemessen werden. Im ersten Schritt werden in der photosensitiven
Kathode der PMT Photoelektronen ausgel\"ost, die dann weiter
verst\"arkt werden. Leider ist beim Cherenkov-Effekt die Statistik der
Photoelektronen mager.


In der Abbildung sind die Anzahl von Ereignissen mit einer bestimmten
Signalh\"ohe $S_{PMT}$ (= ``Signal'') aufgetragen. Wir nehmen an, dass
jedes Photon eine feste Signalh\"ohe macht, so dass die Signalh\"ohe
proportional zur Anzahl der Photoelektronen ist:
$$S_{PMT}\sim n_{pe}$$
In der Regel kennt man die Signalh\"ohe eines
einzelnen Photons nicht und die Skala $S_{PMT}$ ist willk\"urlich (zum
Beispiel eine gemessene Ladung in Einheiten von Kan\"alen eines
Analog-zu-Digital-Konverters).
%****************************************************************
\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\begin{tabular}{c}
\epsfig{file=GR008.PS,width=9cm,angle=-90}
\end{tabular}
\caption[]{Verteilung der Signale eines Phtovervielfachers.}
\label{fig_photo_e}
\end{center}
%\vspace{.5cm}
\end{figure}
%****************************************************************
%\newpage
\noindent
Bestimmen Sie unter der Annahme, dass die Photoelektronen
poisson-verteilt sind, 
\begin{itemize}
\item[a)] die Skala des PMT-Signals (also $S_{PMT}/ n_{pe}$),
\item[b)] die mittlere Anzahl der Photoelektronen und 
\item[c)] die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Ereignis kein Photon
  registriert wird.
\end{itemize}
Entnehmen Sie die Messwerte dem Histogramm.
\begin{itemize}
  
\item[d)] Erzeugen Sie zu der gefundenen mittleren Anzahl der
  Photoelektronen jeweils $N = 10,\ 100,\ 1000$ Ereignisse (siehe
  Abb.\,1.7 im Skript) und stellen Sie die Signalverteilungen wie in
  Abb.\,\ref{fig_photo_e} dar.

\end{itemize}


\end{document}
