\documentclass[a4paper,12pt]{article}
%\usepackage{a4}
%\usepackage{here}
\usepackage{epsfig}
%
\topmargin-1.2cm


\textwidth 16.5cm
\textheight 24cm
%\parindent 0cm
\oddsidemargin -.2cm
%\evensidemargin -4cm

%\addtolength{\evensidemargin}{3cm} 
%\addtolength{\oddsidemargin}{-3mm} 
\pagestyle{empty}

\renewcommand{\d}{{\rm d}}
\newcommand{\m}{{\rm m}}
\newcommand{\s}{{\rm s}}
\newcommand{\C}{{\rm C}}
\newcommand{\3}{\ss{}}

\begin{document}
\begin{flushright}
  {\bf Ausgabe: 16.4.2002 \\                  %% Aendern!                         
     Abgabe:   23.4.2002 \\}               %% Aendern! 
\end{flushright}

\begin{center}
\begin{large}
{\bf \"Ubung zur Vorlesung ``Statistische Methoden der Datenanalyse''\\
     H.~Kolanoski, M.~Kowalski  --    SS 2002 \\
\vspace{0.5cm}             Blatt 1  \\ }
\end{large}
\end{center}

\vspace{1cm}
\noindent
{\bf Aufgabe 1: Effizienz einer Ostereiersuche (8 Punkte)}\\[1mm]             %% Aendern! 
\noindent
Bei der Ostereiersuche tritt immer das Problem auf, dass man am Ende
nicht weiss, ob alle Eier gefunden wurden. Wie k\"onnten Sie
wenigstens eine Absch\"atzung dar\"uber bekommen, wie effizient Sie
beim Eiersuchen sind? Eine g\"angige Methode f\"ur eine solche
Absch\"atzung besteht darin, mehrere unabh\"angige Suchen zu machen
und dann die Ergebnisse zu verglei\-chen.

In diesem Fall fangen Sie zu suchen an, finden 20 Eier, die Sie aber
liegen lassen. Dann sucht Ihr Freund (Ihre Freundin) und findet 22
Eier, von denen 18 Eier die gleichen sind, die auch Sie gefunden
haben.  Sch\"atzen Sie ab, wieviel Eier noch irgendwo im Gras liegen.
Nehmen sie an, dass die Suchenden gleich begabt sind und dass alle
Eier die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, gefunden zu werden.

\paragraph{Anleitung:} 
\begin{itemize}
\item[a)] Skizzieren Sie die beiden gefundenen Mengen und deren
  Durchschnitt.
\item[b)] Sch\"atzen Sie die Wahrscheinlichkeiten f\"ur das Finden
  eines Eies jeweils durch die gefundene Anzahl und die unbekannte
  Gesamtzahl der Eier ab. Andererseits kann Sie diese
  Wahrscheinlichkeit f\"ur einen Sucher jeweils durch Vergleich mit
  dem anderen, unabh\"angigen Sucher bestimmt werden. Schreiben Sie
  die Beziehung f\"ur die bedingte Wahrscheinlichkeit `Ei gefunden
  gegeben der andere hat es auch gefunden' auf.
\item[c)] Benutzen Sie das Additionstheorem, um schlie\3lich die
  gesuchte Effizienz, das ist die Wahrscheinlichkeit, das ein Ei von
  dem einen oder dem anderen Sucher (oder beiden) gefunden wurde, zu
  bestimmen.
\end{itemize}

\vspace{1cm}

\noindent
{\bf Aufgabe 2: Supernova-Entdeckung (8 Punkte)}\\[1mm]
\noindent
Der Diplomand A hat den Ehrgeiz ber\"uhmt zu werden: er will eine
Supernova-Explosion in unserer Milchstra\3e entdecken.  Obwohl sowas
nur etwa alle 50 bis 100 Jahre passiert, hofft er auf sein Gl\"uck.
Und er hat tats\"achlich eine Chance, weil es seine Aufgabe ist,
Signale von Neutrinos im tiefen Eis der Antarktis zu analysieren
(AMANDA-Experiment). Neutrinos sind Teilchen, die in den ersten 10\,s
einer Supernova-Explosion emittiert werden und die wegen ihrer
geringen Wechselwirkung mit Materie bis zur Erde kommen k\"onnen, auch
wenn zum Beispiel das von der Explosion stammende Licht von stellarer und
interstellarer Materie absorbiert wird. Mit einigem Aufwand kann man
diese Neutrinos (zum Beispiel im Eis der Antarktis) nachweisen.

Ohne auf die Details der Messung einzugehen nur soviel: Das Experiment
registriert kontinuierlich Untergrundsignale, deren Mittelwert man
recht gut bestimmen kann. Der Diplomand summiert jeweils die Signale
in 10-Sekunden-Intervallen auf. Die Signale sind Fluktuationen
unterworfen, denen man einen statistischen Fehler zuordnen kann. Etwa
80\% der Supernovae w\"urden ein Signal hervorrufen, das etwa um das
F\"unffache des Fehlers h\"oher liegt als der Mittelwert des
Untergrundes.  Fluktuationen von mindestens dem F\"unffachen des
Fehlers kommen nur mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa
$3\cdot10^{-5}$ vor.

\begin{itemize}
\item[a)] Sch\"atzen Sie ab, wie lange der Diplomand im Mittel warten
  muss, bis er eine potentielle Entdeckung macht.
\item[b)] Berechnen Sie mit Hilfe des Bayes-Theorems, mit welcher
  Wahrscheinlichkeit ein beob\-ach\-te\-tes Signal von einer Supernova
  stammt.
\item[c)] Wie k\"onnte man den Supernova-Nachweis sicherer machen?
  Hinweis: es gibt mehrere Experimente die Supernova-Neutrinos
  nachweisen k\"onnen.  Wieviel unabh\"angige Experimente braucht man,
  um innerhalb von 10 Jahren keinen falschen Alarm auszul\"osen?
\end{itemize}

 \vspace{1cm}

\noindent
{\bf Aufgabe 3: Information ver\"andert Wahrscheinlichkeiten (4 Punkte)}\\[1mm]
\noindent
Dass die Wahrscheinlichkeit f\"ur ein Ereignis nicht absolut fest mit
dem Ereignis verkn\"upft ist, sondern zum Beispiel von dem Grad der
Information des Betrachters abh\"angt, sieht man an dem folgenden,
h\"aufig zitierten Beispiel:

Bei einem Quiz kann man ein Auto gewinnen, dass hinter einer von drei
T\"uren steht. Man muss sich nur vor die richtige T\"ur stellen. 

Ein Kandidat stellt sich vor eine der T\"uren. Um die Sache spannender
zu machen, sagt der Quizmaster: ``Sehen Sie mal, da steht es nicht!''
und \"offnet dann eine der beiden anderen T\"uren, hinter der
tats\"achlich nichts steht. Dann bekommt der Kandidat die Chance noch
einmal zu wechseln.

\begin{itemize}
\item[a)] Was w\"urden Sie tun? 
\item[b)] Geben Sie die Wahrscheinlichkeiten f\"ur einen Gewinn
  jeweils f\"ur das Stehenbleiben und das Wechseln an.
\end{itemize}

\end{document}






