Mathematische Grundlagen (P0)
Walter Winter (Vorlesung)

Robert Brose , Jonas Heinze , Nikolai Husung , Leonel Morejon , Xavier Rodrigues , Annika Rudolph  (Übungsbetrieb)
WS 2018/19

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Merkblatt (pdf)



Literatur

Großmann. Mathematischer Einführungskurs für die Physik [Einfach-Mittel]. Springer Vieweg 2012
Bronstein et al.. Taschenbuch der Mathematik [Nachschlagewerk]. Verlag Harri Deutsch, 2012
Papula. Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Band 1+2 [Einfach]. Springer Vieweg 2015
Fischer, Kaul. Mathematik für Physiker [Formaler]. Vieweg Teubner, 2011
Arfken, Weber, Harris. Mathematical Methods for Physicists [Fortgeschrittener, weiterführend]. Elsevier, 2013

Vorlesungstermine und geplante Inhalte

Vorlesung: Dienstag und Donnerstag, 9:15 - 10:45, NEW 14 0'07
Erste Vorlesung: Dienstag, 16.10.2018, 9:15, NEW 14 0'07
- alle Infos in der 1. Vorlesung, keine frühere Aktion notwendig -


Datum
Themengebiet
Thema
Kommentare
16.10.2018
Wiederholung+Grundlagen
Vektoren

18.10.2018
Wiederholung+Grundlagen Differenziation

23.10.2018
Wiederholung+Grundlagen Integration

25.10.2018
Wiederholung+Grundlagen Komplexe Zahlen

30.10.2018
Wiederholung+Grundlagen
Komplexe Zahlen
01.11.2018
Funktionen mehrerer reeller Veränderlicher Darstellung, Differenziation: partielle Ableitungen

06.11.2018
Funktionen mehrerer reeller Veränderlicher Differenziation: partielle Ableitungen, totales Differenzial

08.11.2018
Funktionen mehrerer reeller Veränderlicher Taylorentwicklung, Lokale Extrema; Integration: Mehrfachintegrale

13.11.2018
Funktionen mehrerer reeller Veränderlicher Integration: Polar-, Zylinder-, Kugelkoordinaten, Beispiele

15.11.2018
Differenzialgleichungen
Grundbegriffe, DGL 1. Ordnung

20.11.2018
Differenzialgleichungen Lineare DGL 1. und 2. Ordnung

22.11.2018
Differenzialgleichungen Lineare DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten, Schwingungsgleichung

27.11.2018
Differenzialgleichungen Fortgeschrittenere DGL (Ausblick)

29.11.2018
Vektoranalysis
Bahnkurven, konservative Kraftfelder, Parameterisierung von Flächen

04.12.2018
Vektoranalysis Vektor- und Skalarfelder, Gradient

06.12.2018
Vektoranalysis Divergenz, Rotation
Rotation = Ende Prüfungsstoff!
11.12.2018
Vektoranalysis Spezielle Vektorfelder (quellenfrei, wirbelfrei), krummlinig-orthogonale Koordinaten
Fakultative Vorlesung
13.12.2018
Vektoranalysis Oberflächenintegrale, Fluss
Fakultative Vorlesung
18.12.2018
Vektoranalysis Integralsätze von Gauss und Stokes
Fakultative Vorlesung

Übungsbetrieb

Details zum Übungsbetrieb finden sich auf unserer Moodle-Seite
Merkblatt (pdf) - Übungsgruppenanmeldung bis 22.10.2018, 10:00 nicht vergessen!

Prüfungen

Siehe Ankündigungen und Informationen auf Moodle-Seite

Inhaltsverzeichnis (detailliert)

(Prüfungsstoff unserer Klausur bis einschließlich IV-6)

I) Wiederholung

1) Vektoren

a) Komponentendarstellung
b) Rechenregeln
c) Skalarprodukt
d) Vektorprodukt
e) Parameterdarstellung Gerade und Ebene, Hessesche Normalform

2) Differenziation

a) Motivation/Tangentenproblem
b) Wichtige Ableitungen (elementare Funktionen)
c) Ableitungsregeln inkl. Umformungen Logarithmus, Ableitung Umkehrfunktion
d) Höhere Ableitungen, Krümmung, Extrema
e) Taylor-Entwicklung

3) Integration

a) Motivation/Interpretation als Flächeninhalt
b) Unbestimmtes Integral
c) Wichtige Grundintegrale
d) Rechnen mit Integralen (Regeln)
e) Integrationsmethoden (Substitution, partielle Integration, Partialbruchzerlegung)
f) Uneigentliche Integrale

4) Komplexe Zahlen

a) Motivation/Fundamentalsatz der Algebra
b) Nomenklatur
c) Rechenregeln (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division); Darstellung in Gausscher Zahlenebene
d) Trigonometrische Darstellung (+ Einschub arcsin, arccos, arctan-Funktionen)
e) Potenzen und Wurzeln
f) Physikalische Anwendungen (z. B. Schwingungen)
g) Ausblick: Komplexe Funktionen

II) Funktionen mehrerer reeller Veränderlicher

1) Darstellung

a) Beispiele
b) Darstellungsformen von Funktionen zweier Veränderlicher
i) Analytische Darstellung
ii) Funktionstafel
iii) Graphisch als Fläche im Raum
iv) Höhenliniendiagramm
v) Dichtediagramm
vi) Schnittkurvendiagramm
c) Darstellung von Funktionen n Veränderlicher

2) Ableiten n-dimensionaler Funktionen

a) Partielle Ableitungen
i) Definition
ii) Praktische Ausführung
iii) Anschauliche Bedeutung
iv) Mehrfache partielle Ableitungen, Satz von Schwarz
v) Integration partieller Ableitungen
b) Totales Differential, Gleichung der Tangentialebene
c) Taylorentwicklung in zwei Dimensionen und lokale Extrema (Min./Max., Sattelpunkt, parabolischer Punkt)

3) Integration n-dimensionaler Funktionen/Mehrfachintegrale

a) Doppelintegrale
i) Bedeutung
ii) Auswertung in kartesischen Koordinaten
iii) Polarkoordinaten
b) Dreifachintegrale
i) Mechanismus/Auswertung
ii) Krummlinige orthogonale Koordinaten (Zylinderkoordinaten, Kugelkoordinaten)
iii) Beispiele: Volumen, Schwerpunkt, Trägheitsmoment

III) Differentialgleichungen (DGL)

0) Motivation

1) Grundbegriffe

a) Definition
b) Lösungen einer DGL
c) Anfangs- und Randwertprobleme
d) Ausblick: Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung

2) DGL 1. Ordnung

a) Graphische Lösung
b) DGL mit trennbaren Variablen
c) Lineare DGL 1. Ordnung (allgemeine Eigenschaften)
d) Lineare DGL 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

3) Lineare DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

a) Allgemeine Eigenschaften
b) Integration der homogenen DGL
c) Integration der inhomogenen DGL
d) Beispiel: Schwingungsgleichung
i) Freie ungedämpfte Schwingung
ii) Freie gedämpfte Schwingung
iii) Erzwungene Schwingung

4) Fortgeschrittenere DGL

a) Lineare DGL n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten
b) Systeme linearer DGL mit konstanten Koeffizienten (Einsetzungs- und Eliminationsverfahren, keine LinAlg!)
c) Separable partielle DGL

IV) Vektoranalysis

1) Bahnkurven

a) Zeit als Parameter
b) Bogenlänge als Parameter
c) Umparameterisierungen
d) Kurvenintegrale, Beispiel Arbeit
e) Konservative Kraftfelder

2) Flächen im Raum

a) Parameterisierung
b) Flächenkurve/Kurve in Fläche
c) Flächennormale, Tangentialebene
d) Flächenelement

3) Vektorwertige Funktionen und Felder

a) Feldbegriff, Vektorfeld, Skalarfeld
b) Graphische Darstellung

4) Gradient eines Skalarfelds

a) Definition, Eigenschaften
b) Rechenregeln
c) Richtungsableitungen
d) Darstellung der Tangentialebene (WH, mit Gradient)

5) Divergenz eines Vektorfelds

a) Anschauliche Bedeutung, Interpretation, Definition
b) Beispiel: Punktladung (Divergenz des elektrischen Feldes); Bezug zu Maxwellgleichung
c) Rechenregeln

6) Rotation eines Vektorfelds

a) Definition, Interpretation
b) Beispiele: Maxwellgleichungen, Geschwindigkeitsfeld rotierende Scheibe
c) Rechenregeln

7) Spezielle Vektorfelder

a) Quellenfreies Vektorfeld, Darstellung durch Vektorpotenzial, Magnetostatik
b) Wirbelfreies Vektorfeld, Bezug konservatives Kraftfeld
c) Laplace- und Poissongleichung

8) Krummlinige Koordinaten

a) Allgemeine Eigenschaften, metrische Koeffizienten
b) Differenzialoperatoren in krummlinig-orthogonalen Koordinaten (einfaches Beispiel, Rest zum Nachschlagen)
c) Beispiel: Zylindersymmetrische Vektorfelder

9) Oberflächenintegrale, Fluss

a) Flussbegriff
b) Auswertung von Oberflächenintegralen (v.a. in Zyklinder- und Kugelkoordinaten)
c) Berechnung von Oberflächenintegralen durch parameterisierte Flächen (-> Bezug zu IV-2)
d) Anwendung: Fluss kugelsymmetrisches Vektorfeld durch Overfläche einer Kugelkoordinaten

10) Integralsätze

a) Motivation/Definition: Gausscher Satz
b) Anwendungen (z. B. Maxwellgleichungen differenziell-integral, Fluss durch Oberfläche Zylinder oft einfacher als Volumenintegral)
c) Motivation/Definition: Stokes'scher Satz
d) Anwendungen (Maxwellgleichungen, Magnetfeld linearer Leiter)

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